n^3+5n能被哪些自然数整除,数学归纳法计算

题目

n^3+5n能被哪些自然数整除,数学归纳法计算

答案

解这道题首先在背后用猜想（合情推理的方法）试探,
n=1时原式=6,n=2时原式=18,n=3时原式=42,n=4时原式=84.这些数都可以被6整除(先别急其他自然数),所以猜想：n^3+5n可以被6整除.
猜想：(n^3+5n)/6是自然数；
证明：①n=1时,左边=6/6=1∈N,成立；
②假设n=k(k∈N*)时成立,(即(k^3+5k)/6 ∈N)
则n=k+1时,左边=[(k+1)^3+5(k+1)]/6
=(k^3+3k^2+3k+1+5k+5)/6
=(k^3+5k +3k^2+3k +6)/6
=(k^3+5k)/6 +(3k^2+3k)/6 +6/6
=(k^3+5k)/6 +1 + 3k(k+1)/6
=(k^3+5k)/6 +1 + k(k+1)/2
又∵k,k+1为相邻自然数,所以k(k+1)/2∈N*,所以左边∈N*,成立.
综合①②得,猜想成立.
能被6整除,也就意味着能被1,2,3整除.
所以答案是：1,2,3,6