方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根,求实数m的取值范围.

方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根,求实数m的取值范围.

题目
方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根,求实数m的取值范围.
答案
构造函数f(x)=x2+2mx+1
∵方程x2+2mx+1=0有两个不相等的负根
∴函数f(x)=x2+2mx+1图象与x轴负半轴有两个不同的交点
∴满足的条件为
△=4m2−4>0
−m<0
f(0)=1>0
,即
m>1或m<−1
m>0

∴实数m的取值范围m>1
故实数m的取值范围(1,+∞)
构造函数f(x)=x2+2mx+1,运用二次函数图象在x轴负半轴有两个不同的交点,
确定关于m的不等式组条件,即可解出实数m的取值范围

函数的零点与方程根的关系.

本题考察了二次函数的图象与方程的根、函数的零点关系,结合函数图象就能够得出不等式组,再解不等式组即可.本题也可以运用分离参数2m=(-x)+(-

1
x
),运用y=2m与y=(-x)+(-
1
x
)两个函数图象的交点的方法解决.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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