已知函数f(x)=a[2cos^2(x/2)+sinx]+b,当a=1时,求f(x)的单调增区间
题目
已知函数f(x)=a[2cos^2(x/2)+sinx]+b,当a=1时,求f(x)的单调增区间
答案
两倍角公式:
cos2A=2cos²A-1
辅助角公式:
asinA+bcosA=√(a²+b²)sin(A+B),其中tanB=b/a
f(x)=a[2cos²(x/2)+sinx]+b
=a(1+cosx+sinx)+b
=a(sinx+cosx)+b+a
=(√2)asin(x+π/4)+a+b
当a=1时,
令-π/2+2kπ≤x+π/4≤π/2+2kπ,k∈Z
即-3π/4+2kπ≤x≤π/4+2kπ,k∈Z
所以f(x)的单调增区间为[-3π/4+2kπ,π/4+2kπ](k∈Z)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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