勾股定理几何问题×2!

题目

勾股定理几何问题×2!
1.△ABC中AM为BC边上的中线,D、E分别在AB、AC上,且∠DME=90°,BD^2+CE^2=MD^2+ME^2,求证:AB^2+AC^2=4AM^2.
2.设a,b,c,d是正实数,求证：存在这样的三角形,它的三边等于√(a^2+b^2+d^2+2cd),√(a^2+b^2+d^2+2ab),√(b^2+c^2),并求其面积.
---------A
-------------E
---D
B---------M---------C
第一题图就是把上面的，AD,DB,AE,EC,BM,MC,AM,DE,DM,ME连起来。

答案

1）
由余弦定理：
BD^2=BM^2+DM^2-2BM*DMcosBMD
CE^2=CM^2+EM^2-2CE*EMcosCME
BD^2+CE^2=MD^2+ME^2
前两式相加减去第三式并整理：
BM^2+CM^2=2BM*DMcosBMD+2CE*EMcosCME
由BM=CM
可得BM=DMcosBMD+EMcosCME
作DP垂直BM于P,EQ垂直MC于Q
BM=PM+MQ=BP+PM=MQ+QC
即BP=MQ,PM=QC
易证三角形DPM与三角形MQE相似
于是DP/PM=MQ/QE
则DP/QC=BP/QE
因此三角形BPD与三角形EQC相似
角B+角C=角B+角BDP=90
则角A=90
AM=BC/2
AB^2+AC^2=BC^2=4AM^2.
2)
…………