若函数f(x,y)=①sin(x²y)/xy,xy不等于0；②0,xy=0; 则对x求偏导数f x(0,1)=?

题目

若函数f(x,y)=①sin(x²y)/xy,xy不等于0；②0,xy=0; 则对x求偏导数f x(0,1)=?

答案

∵当xy=0时,f(x,y)=0
∴f(0,1)=0
∵当xy≠0时,f(x,y)=sin(x²y)/xy
∴f(△x,1)=sin(△x²*1)/(△x*1)=sin(△x²)/△x (其中△x≠0)
故根据偏导数的定义,有f’x(0,1)=lim(△x->0){[f(△x,1)-f(0,1)]/△x}
=lim(△x->0){[sin(△x²)/△x-0]/△x}
=lim(△x->0)[sin(△x²)/△x²]
=1 (应用重要极限lim(x->0)(sinx/x)=1).