设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA.

题目

设A,B为两个n阶正定矩阵,证明:AB为正定矩阵的充要条件是AB=BA.

答案

证明: 因为A,B正定, 所以 A^T=A,B^T=B
(必要性) 因为AB正定, 所以 (AB)^T=AB
所以 BA=B^TA^T=(AB)^T=AB.
(充分性) 因为 AB=BA
所以 (AB)^T=B^TA^T=BA=AB
所以 AB 是对称矩阵.
由A,B正定, 存在可逆矩阵P,Q使 A=P^TP,B=Q^TQ.
故 AB = P^TPQ^TQ
而 QABQ^-1=QP^TPQ^T = (PQ)^T(PQ) 正定, 且与AB相似
故 AB 正定.