如何理解概率的定义?

题目

如何理解概率的定义?

答案

首先应该明确在数学上概率是用公理化的形式定义的.各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概率定义’都是一些描述性的说法.教师不应该过分地去揣摩,探究那里的用语,而应理解其实质.概率的概念笼统说并不难,但若深入到理论或哲学中去讨论,问题就有一大堆,不是中学(甚至也不是大学)数学课程需要讨论的.在这里,谈谈对数学上‘定义’的一些看法.我们不想谈数学中给出定义的必要性,它的作用和意义.每一个数学老师对此都清楚.我们想谈的是相反的一面,也是我们认为有些问题的地方,即过分地追求定义,过分地探究书中的词语,而忽略了对整体精神的把握.对任何一个概念的定义,都需要用到一些词语.而严格说,这些词语仍需要定义.定义这些词语又需要用到另外一些词语.因此,这是一个无限上推、无法完成的任务,除非在某一处停下来.换句话说,必须有一些不加定义的词语,以此为出发点来讨论问题.提出这一点,是希望人们不要迷信定义.有人以为凡是没定义的都是不严格的,只有给出了定义才严格.这种看法是不全面的.其次,有些定义即使有,对许多人来说也是不必要的.大多数科学家并不需要了解实数的理论(实数的严格定义),大多数数学家也不需要掌握用皮亚诺公理给出的自然数定义.严格表述尽管重要,但数学中最重要的活力来自于它的问题,思想,来自人们的探索,猜想,分析.概率的统计定义通常可以这样叙述：在相同的条件下做大量的重复试验,一个事件出现的次数k和总的试验次数n之比,称为这个事件在这n次试验中出现的频率.当试验次数n很大时,频率将‘稳定’在一个常数附近.n越大,频率偏离这个常数大的可能性越小.这个常数称为该事件的概率.我们要清楚上述定义只是描述性的.事实上它有循环定义之嫌.因为定义中出现了‘可能性’.这指的就是概率.(类似地在古典概率定义中通常出现‘等可能性’).你可以设法避免这类词出现,但其本质的意义无法避免.有些人去探讨‘试验’等词的定义.事实上,‘做一次试验’并不难理解.如,扔一个硬币,摸三个红球,取十个产品,等等.个别复杂的试验也不难向学生解释.把‘做一次试验’定义为‘条件实现一次’,反而更难让人理解.什么叫‘条件’?什么叫‘实现’?这显然是不恰当的.何况‘试验’根本不是数学中的名词.