椭圆ax+by=1(a>0,b>0)与直线x+y=1交于AB两点,M为AB中点,直线OM的斜率为2,OA⊥OB,求椭圆方程

题目

椭圆ax+by=1(a>0,b>0)与直线x+y=1交于AB两点,M为AB中点,直线OM的斜率为2,OA⊥OB,求椭圆方程
若椭圆ax+by=1(a>0,b>0)与直线x+y=1交于AB两点,M为AB的中点,直线OM的斜率为2,OA⊥OB,求椭圆方程.

答案

把y=1-x代入ax+by=1得 ax^+b(1-2x+x^)=1,(a+b)x^-2bx+b-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=2b/(a+b),x1x2=(b-1)/(a+b),AB中点M(b/(a+b),a/(a+b)),直线OM的斜率为a/b=2,a=2b.由OA⊥OB得0=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1 =[2(b-1)-b+(a+b)]/(a+b)=(a+2b-2)/(a+b),解得a=1,b=1/2.∴椭圆方程是x^+y^/2=1.