关于线性代数第三章n维向量的证明题

题目

关于线性代数第三章n维向量的证明题
设α1,α2,α3是3个n维向量,又β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1证明α1,α2,α3线性无关的充要条件是β1β2β3线性无关

答案

证明：若α1,α2,α3线性相关,则存在不全为0的实数x1,x2,x3
使得x1α1+x2α2+x3α3=0,∵β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α1
∴α1=(β1+β3-β2)/2,α2=(β1+β2-β3)/2,α3=(β2+β3-β1)/2,带入上式得
(x1+x2-x3)β1+(x2+x3-x1)β2+(x1+x3-x2)β3=0,∵x1,x2,x3不全为0
若x1+x2-x3=x2+x3-x1=x1+x3-x2=0,则解得x1=x2=x3=0,矛盾
∴x1+x2-x3,x2+x3-x1,x1+x3-x2不全为0,即β1,β2,β3线性相关
即α1,α2,α3线性相关 => β1,β2,β3线性相关
反之,同理可证β1,β2,β3线性相关 => α1,α2,α3线性相关
∴α1,α2,α3线性相关 <=> β1,β2,β3线性相关
即α1,α2,α3线性无关 <=> β1,β2,β3线性无关