λ取何值时,线性方程组(1+λ)x1+x2+x3=0,x1+(1+λ)x2+x3=λ,x1+x2+(1+λ)x3=λ的平方

题目

λ取何值时,线性方程组(1+λ)x1+x2+x3=0,x1+(1+λ)x2+x3=λ,x1+x2+(1+λ)x3=λ的平方
(1)有唯一解;(2)无解；(3)有无穷多解,并求出全部解.

答案

你学过线性代数了吧?看解法
由题意得原方程组的系数矩阵A与增广矩阵B为
| 1+λ 1 1 |
A = | 1 1+λ 1 |
| 1 1 1+λ |
| 1+λ 1 1 0 |
B= | 1 1+λ 1 λ |
| 1 1 1+λ λ |
对B做初等变换得
| 1+λ 1 1 0 | | 1 1 1+λ λ |
B= | 1 1+λ 1 λ | = | 0 λ -λ 0 |
| 1 1 1+λ λ | | λ 0 -λ -λ |
| 1 1 1+λ λ |
= | 0 λ -λ 0 |
| 0 0 -λ^2-3λ -λ-λ^2 |
讨论如下：
（1）当λ≠0且λ≠-3时,r(A)=r(B)=3,此时有唯一解
此时可解得
(x1 x2 x3)=( 2λ/(λ+3) -(λ+1)/(λ+3) (λ+1)/(λ+3) )
（2）当λ=-3时,r(A)=2