求不等式(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2>0的解是一切实数的充要条件.

求不等式(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2>0的解是一切实数的充要条件.

题目
求不等式(a2-3a+2)x2+(a-1)x+2>0的解是一切实数的充要条件.
答案
(1)当a2-3a+2=0⇒a=1或a=2.
当a=1时,原不等式为2>0恒成立,∴a=1适合;
当a=2时,原不等式为x+2>0,即x>-2,它的解不是一切实数,∴a=2不适合.
(2)当a2-3a+2≠0时,
a2−3a+2>0
=(a−1)2−8(a2−3a+2)<0
a<1或a>2
a>
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7
或a<1

⇒a<1或a>
15
7

∴所求的充要条件是a≤1或a>
15
7
采用分类讨论思想,分析不等式恒成立的条件,求解.

必要条件、充分条件与充要条件的判断;一元二次不等式的解法.

本题借助考查充要条件的判断,考查一元二次不等式的解集问题.借助一元二次函数图象分析一元二次不等式的恒成立问题.
本题的易错点在忽视二次项系数为零时的情况.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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