已知M与两定点O（0，0）、A（3，0）的距离之比为1/2． （1）求M点的轨迹方程； （2）若M的轨迹为曲线C，求C关于直线2x+y-4=0对称的曲线C′的方程．

题目

已知M与两定点O（0，0）、A（3，0）的距离之比为

1

2

．
（1）求M点的轨迹方程；
（2）若M的轨迹为曲线C，求C关于直线2x+y-4=0对称的曲线C′的方程．

答案

（1）设M坐标为（x，y），由题意得

x2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，整理得（x+1）²+y²=4．
所以M点的轨迹方程为（x+1）²+y²=4．
（2）因为曲线C：（x+1）²+y²=4，
所以C关于直线2x+y-4=0对称的曲线C′是与C半径相同的圆，故只需求C′的圆心坐标即可，设C′的圆心坐标（x₀，y₀）．
由题意得

y0 x0+1 = 1 2 2• x0-1 2 + y0 2 -4=0

，解得

x0=3.8 y0=2.4

．
故曲线C′的方程为（x-3.8）²+（y-2.4）²=4．

（1）设M坐标为（x，y），由题意得

x2+y2

(x−3)2+y2

=

1

2

，整理得M点的轨迹方程；
（2）求出C关于直线2x+y-4=0对称的曲线C′的圆心坐标，即可求得结论．

本题考点：轨迹方程．

考点点评：本题考查轨迹方程，考查圆的对称性，考查学生的计算能力，属于中档题．