求定积分:∫ ln(1+tanx)dx (o≤x≤π/4)

题目

求定积分:∫ ln(1+tanx)dx (o≤x≤π/4)
求定积分:∫ln(1+tanx)dx (o≤x≤π/4)

答案

这个好像书上都有解得答案哇,用的是参变量积分,这里就不介绍书上的方法了
还可以用貌似对称的方法
利用∫[0,a]f(x)dx=(1/2){∫[0,a]f(x)dx+∫[0,a]f(a-x)dx}
上述公式你用换元法就可以证明了,在这里就不证了
∫[o,pi/4)]{ln(1+tanx)}dx=(1/2){∫[0,pi/4]{ln(1+tanx)}dx)+∫[0,pi/4]{ln(1+tan(pi/4-x)}dx}
=(1/2){∫[0,pi/4]{ln(1+tanx)}dx)+∫[0,pi/4]{ln(2/(1+tanx)}dx} 【tan(a-b)展开式子】
=(1/2)∫[0,pi/4]{ln2}dx 【用到lna+lnb=lnab】
=(pi*ln2)/8
和∫[0,1]{ln(1+x)/(1+x^2)}dx是同样的一题,作一个转化就可以了