有一根直尺的短边长为2cm,长边长为10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长为12cm.

题目

有一根直尺的短边长为2cm,长边长为10cm,还有一块锐角为45°的直角三角形纸板,它的斜边长为12cm.
如图1,将直尺的短边DE放置与直角三角形纸板的斜边AB重合,且点D与点A重合．将直尺沿AB方向平移（如图2）,设平移的长度为xcm（0≤x≤10）,直尺和三角形纸板的重叠部分（图中阴影部分）的面积为Scm2．
是否存在一个位置,是阴影部分的面积S为11cm2
,若存在,请求出此时x的值（可能用一元二次方程解）

答案

（1）2；2
（2）在Rt△ADG中,∠A=45°,
∴DG=AD=x,同理EF=AE=x+2,
∴S梯形DEFG=12（x+x+2）×2=2x+2．
∴S=2x+2
（3）①当4＜x＜6时（如图答1）
,
GD=AD=x,EF=EB=12-（x+2）=10-x,
则S△ADG=12AD•DG=12x2,S△BEF=12（10-x）2,
而S△ABC=12×12×6=36,S△BEF=12（10-x）2,
∴S=36-12x2-12（10-x）2=-x2+10x-14,
S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11,
∴当x=5,（4＜x＜6）时,S最大值=11．
②当6≤x＜10时（如图答2）,
BD=DG=12-x,BE=EF=10-x,S=12（12-x+10-x）×2=22-2x．
S随x的增大而减小,所以S≤10．
由①、②可得,当4＜x＜10时,S最大值=11．