已知A.B.C是△ABC的三个内角,向量向量m=（-1,√3）,n=（cosA,sinA）,且m·n=1,（1）求角A

题目

已知A.B.C是△ABC的三个内角,向量向量m=（-1,√3）,n=（cosA,sinA）,且m·n=1,（1）求角A
（2）若（1+sin2B）/(cos²B-sin²B)=-3,求tanC
急.....

答案

第一个问题：
∵向量m·向量n＝1,∴－cosA＋√3sinA＝1,∴－（1/2）cosA＋（√3/2）sinA＝1/2,
∴sin（－30°）cosA＋cos（－30°）sinA＝1/2,∴sin（A－30°）＝1/2,∴A－30°＝30°,
∴A＝60°.
第二个问题：
∵（1＋sin2B）/［（cosB）^2－（sinB）^2］＝－3,
∴［（cosB）^2＋2cosBsinB＋（sinB）^2］/［（cosB）^2－（sinB）^2］＝－3,
∴［1＋2tanB＋（tanB）^2］/［1－（tanB）^2］＝－3,
∴1＋2tanB＋（tanB）^2＝－3＋3（tanB）^2,∴2（tanB）^2－2tanB－4＝0,
∴（tanB）^2－tanB－2＝0,∴（tanB－2）（tanB＋1）＝0,∴tanB＝2,或tanB＝－1.
∵A＝60°,∴tanA＝√3.
一、当tanB＝2时,
　　tanC＝tan（180°－A－B）＝－tan（A＋B）＝－（tanA＋tanB）/（1－tanAtanB）
　　　　＝（√3＋2）/（2√3－1）＝（√3＋2）（2√3＋1）/11＝（8＋5√3）/11.
二、当tanB＝－1时,
　　tanC＝tan（180°－A－B）＝－tan（A＋B）＝－（tanA＋tanB）/（1－tanAtanB）
　　　　＝（√3－1）/（－√3－1）＝－（√3－1）^2/2＝（2√3－4）/2＝√3－2.