已知2的x分之一次方＞x的a次方对任意x属于（0,2）成立,求实数a的取值范围

题目

已知2的x分之一次方＞x的a次方对任意x属于（0,2）成立,求实数a的取值范围
2楼.是的

答案

2^x=e^（x*ln2）
x^a=e^（a*lnx）
由于e^x是单调递增函数,原问题可以转化为x*ln2＞a*lnx在x属于（0,2）恒成立
当a=0时,显然成立；
当a≠0时,x=1时,ln2＞0恒成立
对于x属于（0,1）,a＞x/lnx*ln2,记f（x）=x/lnx,f′（x）=（lnx-1）/ln²x﹤0
所以f（x）是单调减函数,a＞f(0+)*ln2=0,得到a＞0
对于x属于（1,2）,a＜x/lnx*ln2,f′（x）=（lnx-1）/ln²x＜0,
所以f（x）是单调减函数,a≤f(2)*ln2=2,所以有a≤2
综上所得0≤a≤2