b,c均为正实数,且b2=ac,求证a4+b4+c4>(a2-b2+c2)2

题目

b,c均为正实数,且b2=ac,求证a4+b4+c4>(a2-b2+c2)2

答案

由(a-c)²≥0得：
a²+c²-2ac≥0；
a²+c²-ac≥ac；
a,b,c均为正实数；即：a²+c²-ac>0.
(a²-b²+c²)²
=（a²-b²）²+c⁴+2c²(a²-b²)
=a⁴+b⁴-2a²b²+c⁴+2c²a²-2c²b²
=a⁴+b⁴-2a²ac+c⁴+2c²a²-2c²ac （把b²=ac代入得）
=a⁴+b⁴+c⁴-2a²ac+2c²a²-2c²ac
=a⁴+b⁴+c⁴-2ac(a²+c²-ac)
因为a,b,c均为正实数；
所以：2ac(a²+c²-ac)为正实数；
所以a⁴+b⁴+c⁴ > a⁴+b⁴+c⁴-2ac(a²+c²-ac)
即证：a⁴+b⁴+c⁴ >(a²-b²+c²)².