已知m>1,直线l:x-my+m/2=0,椭圆C:x^2/m+y^2=1,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点

题目

已知m>1,直线l:x-my+m/2=0,椭圆C:x^2/m+y^2=1,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点
设直线l与椭圆C交与A,B两点,若弦AB中点的纵坐标是3/8,求椭圆C的方程

答案

设：A(x1,y1)、B(x2,y2),则：
(x1)²/m＋(y1)²=1
(x2)²/m＋(y1)²=1
两式相减,得：
[(x1＋x2)(x1－x2)]/m＋[(y1－y2)(y1＋y2)]=0
m[(y1－y2)/(x1－x2]=－[(x1＋x2)/(y1＋y2)] -----------------------(1)
考虑到(y1＋y2)/2=3/8,则：(x1＋x2)/2=(3/8)m－(1/2)m=－(1/8)m
以及：[y1－y2]/[x1－x2]=AB的斜率=1/m,则(1)式可化为：
1=m/3
m=3
则椭圆是：x²/3＋y²=1