已知函数f（x）=λ•2x-4x，定义域为[1，3]． （1）若λ=6求函数f（x）的值域； （2）若函数f（x）在区间[1，3]上是增函数，求实数λ的取值范围．

题目

已知函数f（x）=λ•2^x-4^x，定义域为[1，3]．
（1）若λ=6求函数f（x）的值域；
（2）若函数f（x）在区间[1，3]上是增函数，求实数λ的取值范围．

答案

（1）设t=2^x，∵x∈[1，3]，∴t∈[2，8]
∴λ=6时，y=-t²+6t=-（t-3）²+9，2≤t≤8
∴t=3，即x=log₂3时，y取最大值9；t=8，即x=3时，y取最小值-16，
∴函数f（x）的值域是[-16，9]；
（2）由题意，f′（x）=λ2^x•ln2-4^x•ln4≥0在[1，3]上恒成立，即λ≥2^x+1在[1，3]上恒成立
∴λ≥16．