已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=alnx(a≠0).(Ⅰ)若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值;(Ⅱ)设F(x)=f(x)-2g(x),求函数F(x)的极值.

已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=alnx(a≠0).(Ⅰ)若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值;(Ⅱ)设F(x)=f(x)-2g(x),求函数F(x)的极值.

题目
已知函数f(x)=x2-1与函数g(x)=alnx(a≠0).
(Ⅰ)若f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线,求实数a的值;
(Ⅱ)设F(x)=f(x)-2g(x),求函数F(x)的极值.
答案
(I)因为f(1)=0,g(1)=0,所以点(1,0)同时在函数f(x),g(x)的图象上(1分)因为f(x)=x2-1,g(x)=alnx,f'(x)=2x,(3分)g′(x)=ax(5分)由已知,得f'(1)=g'(1),所以2=a1,即a=2(6分)(II...
(I)先判定点(1,0)与函数f(x),g(x)的图象的位置关系,然后分别求出在x=1处的导数,根据函数f(x),g(x)的图象在点(1,0)处有公共的切线,建立等量关系,求出a的值;
(II)先求出F(x)的解析式和定义域,然后在定义域内研究F(x)的导函数,讨论a的正负,分别判定F'(x)=0的值附近的导数符号,确定极值.

利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,公切线等有关基础知识,考查空运算求解能力、推理论证能力,考查分类讨论的思想,属于中档题.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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