等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

题目

等边△ABC的边长为a，求其内切圆的内接正方形DEFG的面积．

答案

等边△ABC的边长为a，
∵点O为△ABC的内心，
∴OE⊥AB，AE=BE=

a

2

，∠EAO=30°，
∴OE=AE•tan∠EAO=

3

6

a，
则正方形的边长是2OE•cos45°=2×

2

2

OE=2×

2

2

×

3

6

a=

6

6

a．
则正方形的面积是：

1

6

a²．

根据等边三角形的性质求得其等边三角形的边心距，即是正方形的半径，再根据正方形的性质求得正方形的边长，进一步求出其面积．

本题考点：正多边形和圆．

考点点评：此类计算题主要是构造一个由正多边形的边心距、半径和半边组成的直角三角形．该直角三角形的半边所对的角即是正多边形的中心角的一半，即

180°

n

．根据锐角三角函数的概念进行求解．