在数列{an},a1=2,a(n+1)=4an-3n+1,n∈N+.（1）证明数列{an-n}是等比数列（2）求数列{an}的通项公式 An+1=4

题目

在数列{an},a1=2,a(n+1)=4an-3n+1,n∈N+.（1）证明数列{an-n}是等比数列（2）求数列{an}的通项公式 An+1=4
在数列{an},a1=2,a(n+1)=4an-3n+1,n∈N+.（1）证明数列{an-n}是等比数列（2）求数列{an}的通项公式
An+1=4An-3n+1
An+1-(n+1)=4An-4n
An+1-(n+1)=4(An-n)
[An+1-(n+1)]/[(An-n)]=4
即：An-n是等比数列
An-n=4^(n-1)
An=4^(n-1)+n
于是Sn=4^0+4^1+4^2+4^3+...+4^(n+1)+n(n+1)/2=1/3(4^n-1)+n(n+1)/2
这种方法据说叫“待定系数法”?这样配,有没有一个具体的公式呢?

答案

有的,形如(An+1)+b*An+c*n+d=0 b≠-1,否则有(An+1-An)求和即可得出结果
一定可以得到：[(An+1)+c*(n+1)/(1+b)]+b[An+c*n/(1+b)]+d-c/(1+b)=0
令数列{An+c*n/(1+b)}={Xn} d-c/(1+b)=f
即可得：(Xn+1)+b*Xn+f=0 b≠-1,理由同上
这样我们就消除了n这个变量,将上式再变形一下：
(Xn+1)+f/(1+b)=[Xn+f/(1+b)]*(-b)
令数列{Xn+f/(1+b)}={Yn},则{Yn}为公比是(-b)的等比数列
所以可以轻易求的{Yn},那么{Xn}也就出来了
再代入{An+c*n/(1+b)}={Xn},{An}自然也得到了