设实数a,b,c满足a2+2b2+3c2=3/2,求1/2a+1/4b+1/8c的最小值.

设实数a,b,c满足a2+2b2+3c2=3/2,求1/2a+1/4b+1/8c的最小值.

题目
设实数a,b,c满足a2+2b2+3c2=
3
2
,求
1
2a
+
1
4b
+
1
8c
的最小值.
答案
有柯西不等式可知:(a+2b+3c)2≤(12+22+32)(a2+2b2+3c2)=9,
∴a+2b+3c≤3,可得
1
2a
+
1
4b
+
1
8c
≥3
32−(a+2b+3c)
3
2
当且仅当a=1,b=
1
2
c=
1
3
时取等号.
1
2a
+
1
4b
+
1
8c
的最小值:
3
2
直接利用柯西不等式,推出a+2b+3c≤3,然后求解
1
2a
+
1
4b
+
1
8c
的最小值.

柯西不等式在函数极值中的应用.

本题考查柯西不等式的应用,基本知识的考查.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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