设X1=a>0,Y1=b>0,X(n+1)=(Xn*Yn)^1/2,Y(n+1)=(Xn+Yn)/2,求证Xn和Yn收敛于同一个数

题目

设X1=a>0,Y1=b>0,X(n+1)=(Xn*Yn)^1/2,Y(n+1)=(Xn+Yn)/2,求证Xn和Yn收敛于同一个数

答案

先证明Xn是单调递增,Yn是单调递减.
然后由均值不等式知,Xn<=Yn
故知Xn单调递增有上界b,Yn单调递减有下界a.
故Xn和Yn都是收敛数列.
然后对X(n+1)=(Xn*Yn)^1/2两边取极限得证.（这里X（n+1）的极限等于X（n）的极限）