在Rt三角形ABC中,CD垂直于AB,角BCD=2角ACD,垂足为点D

题目

在Rt三角形ABC中,CD垂直于AB,角BCD=2角ACD,垂足为点D
如果BD=3AD,求证：角C=90度

答案

证明：作∠BCD的角平分线CE,交BD于点E
∴∠DCE=∠BCE
∵∠BCD=2∠ACD∴∠ACD=∠DCE
∵CD⊥AB ∴∠ADC=∠EDC=90°
∵CD=CD∴△ACD≌△ECD ∴AD=DE
∵BD=3AD∴BE=BD-DE=3AD-AD=2AD=2DE
∵CE平分∠BCD∴BC：CD=BE:DE=2：1（应用角平分线性质定理）
∴在Rt△BCD中：BC=2CD∴∠B=30°∴∠BCD=60°
∴∠ACD=1/2∠BCD=30°
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°