已知A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点,满足OA⊥OB,O为坐标原点,求证

题目

已知A（x1,y1）,B（x2,y2）是抛物线y²=2px（p＞0）上的两点,满足OA⊥OB,O为坐标原点,求证
求证：AB所在直线过定点（2p,0）

答案

设直线AB与x轴交于T(m,0) (m≠0)
那么直线AB的方程可以设为
x=ty+m
x=ty+m与y²=2px联立消去x得
y²=2pty+2pm
即y²-2pty-2pm=0
根据韦达定理
y1+y2=2pty,y1y2=-2pm
∴x1x2=(y²1/2p)*(y²2/2p)²
=(y1y2)²/(4p²)=m²
∵OA⊥OB
∴向量OA●OB=（x1,y1)●(x2,y2)=0
∴x1x2+y1y2=0
∴m²-2pm=0
∵m≠0,∴m=2p
即直线AB所在直线过定点（2p,0）