设｛an｝为等差数列,｛bn｝为等比数列,且a1=b1,若cn=an+bn,且c1=2,c2=5,c3=9.

题目

设｛an｝为等差数列,｛bn｝为等比数列,且a1=b1,若cn=an+bn,且c1=2,c2=5,c3=9.
（1）求｛an｝的公差d和｛bn｝的公比q；
（2）求数列｛cn｝的前10项和；
（3）若dn=an×bn,求数列｛dn｝的前20项的和.

答案

a(1)=b(1)
c(1)=a(1)+b(1)=2 => a(1)=b(1)=1
c(2)=a(2)+b(2)=a(1)+d+q·b(1)=1+d+q=5
c(3)=a(3)+b(3)=a(1)+2d+q²·b(1)=1+2d+q²=9 => d=2,q=2
所以数列{a(n)}、{b(n)}、{c(n)}、{d(n)}的通项表达式分别是：
a(n)=a(1)+(n-1)·d=2n-1
b(n)=b(1)·q^(n-1)=2^(n-1)
c(n)=a(n)+b(n)=2^(n-1)+2n-1
d(n)=a(n)·b(n)=(2n-1)·2^(n-1)
可以看出{a(n)}是奇数数列,其前n项和A(n)=n²
{b(n)}是2的幂次方数列,其前n项和B(n)=2^n-1
于是可求得数列{c(n)}的前n项和C(n)=n²+2^n-1
数列{d(n)}的前n项和D(n)的求法是：
D(n)=1·2^0+3·2^1+5·2^2+……+(2n-1)·2^(n-1)
2·D(n)= 1·2^1+3·2^2+……+(2n-3)·2^(n-1)+(2n-1)·2^n
D(n) = -1·2^0+(1-3)·2^1+(3-5)·2^2+……+[(2n-3)-(2n-1)]·2^(n-1)+(2n-1)·2^n
= -1·2^0-(2^2+2^3+……+2^n)+(2n-1)·2^n
= (2n-3)·2^n+3
所以：
（1）数列｛a(n)｝的公差d=2,数列｛b(n)｝的公比q=2
（2）数列｛c(n)｝的前10项和：C(10)=10²+2^10-1=1123
（3）数列｛d(n)｝的前20项和：D(20)=(2×20-3)×2^20+3=38797315