设an＝logn+1(n+2)，(n∈N*)，定义使a1a2a3…ak为整数的数k（k∈N*）叫做数列{an}的企盼数，则区间[1，2009]内的所有企盼数的和为_．

题目

设a

答案

∵a_n=log_n+1（n+2）=

log2(n+2)

log2(n+1)

∴a₁•a₂•a₃…a_k=

log23

log22

×

log24

log23

…×

log2(k+2)

log2(k+1)

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2．
∴k∈[1，2009]内所有的企盼数的和M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

4(1−29)

1−2

−2×9=2026
故答案为：2026．