已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点.

题目

已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,M、N分别是AB、PC的中点.
1)    求证：MN‖平面PAD；
(2)求证：MN⊥CD；
(3)若平面PCD与平面ABCD所成二面角为θ，问能否确定θ的值，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线.

答案

（1）在平面PAD内作矩形PADE,平面PBCE中,BC//=PE得到PBCE为平行四边形,N为BE中点,所以三角形ABE中,MN//AE,AE为平面PAD内一条直线,故(1)得证
（2）CD垂直平面PAD,所以CD垂直AE,MN//AE,所以CD垂直MN
（3）容易证明,θ等于角PDA,角PDA=45度时,PADE为正方形,AE垂直PD,又AE垂直CD,故AE垂直平面PCD,AE垂直PC,又MN平行于AE,故MN垂直PC,MN垂直CD和AB,故此时MN是异面直线AB与PC的公垂线.