有一块正三角形的空地,小明和小亮想在这块空的上找一个点,使得这一点到三边的距离之和最短,他们做了一个实验,发现无论三角形内的哪一点到三边的距离之和都是相等的.于是他们编了一道几何题：如图,已知P为正△

题目

有一块正三角形的空地,小明和小亮想在这块空的上找一个点,使得这一点到三边的距离之和最短,他们做了一个实验,发现无论三角形内的哪一点到三边的距离之和都是相等的.于是他们编了一道几何题：如图,已知P为正△ABC内一点,P到BC,CA,AB的距离分别为PD,PE,PF,是说明PD+PE+PF总是一个定值,这个定值与什么有关?你们发现这个事实了么?
北师大版数学7下全品作业本P54第19题

答案

设正三角形的边长为a
连接PA,PB,PC,将△ABC分成△PAB,△PAC,△PBC
则△PAB面积为AB*PF/2=aPF/2
△PAC面积为AC*PF/2=aPE/2
△PAB面积为BC*PF/2=aPD/2
他们的面积和即为△ABC的面积
即h为正三角形ABC的高
得等式aPF/2+aPE/2+aPD/2=ah/2
得PE+PF+PD=h
即PE+PF+PD的值等于该正三角形的高