实数xy满足x+y-2≥0,x+3y-6≤0,x-2≤0则x^2+y^2+2x+2y的最小值为

题目

实数xy满足x+y-2≥0,x+3y-6≤0,x-2≤0则x^2+y^2+2x+2y的最小值为

答案

最小值为6
x^2+y^2+2x+2y=（x+1)^2+(y+1)^2-2
即求满足x+y-2≥0,x+3y-6≤0,x-2≤0,区域内的点到点（-1,-1）的最小距离（点（-1,-1）不在这个区域内,若在此区域,则最小距离为0）
由题可判断点（-1,-1）距离区域中直线x+y-2=0最近
点（-1,-1）向直线x+y-2=0做垂线,距离最小,交于点（1,1）,满足上面的区域,
因此当x=1,y=1时,x^2+y^2+2x+2y最小,值为6