池塘里有3张荷叶A.B.C,一只青蛙在这3张荷叶上跳来跳去.若青蛙从A开始、

题目

池塘里有3张荷叶A.B.C,一只青蛙在这3张荷叶上跳来跳去.若青蛙从A开始、
若青蛙从A开始,跳K(K>=2)次后有回到A,并设所有可能的不同跳法为Ak,则当k>2是,Ak与Ak-1之间的关系式是什么?A8的值是什么?
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答案

Ak = 2*Ak-1 + 2 (k为偶数)
Ak = 2*Ak-1 - 2 (k为奇数)
由公式可知:
A2 = 2
A3 = 2
A4 = 6
A5 = 10
A6 = 22
A7 = 42
A8 = 86
//====
还有另一种形式:
Ak = 2的(k-1)次方 - Ak-1
证明下面一个式子:
不考虑最后跳到A上.
则每跳一次,都是跳到另外两张上去,所以有两种可能,
那么跳K次,一共有2的K次方种可能跳法.
对于某一次k,他可以看作上一次的所有跳法中,再加上一跳.而上一次的所有跳法中,其实只有一部分是最后跳到A上的.其他的都是跳到B或C上..
而这些最后一跳在B或C上的,则刚好有一次跳到A的情况.
故本次最后能跳到A上的数目为上一次的所有情况减去最后在A的情况.
故得式子..