先将一矩形ABCD置于直角坐标系中,使点A与坐标系的原点重合,边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如左图),再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°(如图),若AB=8,BC=6,则右图
题目
先将一矩形ABCD置于直角坐标系中,使点A与坐标系的原点重合,边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如左图),再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°(如图),若AB=8,BC=6,则右图中点C的坐标为___.
答案
延长CB交x轴于点E,作CF⊥AE于F.
在Rt△ABE中,
∵AB=8,∠BAE=30°,
∴∠BEA=60°,BE=
,AE=
.
在Rt△CEF中,
CE=6+
,∠CEF=60°,
∴EF=3+
,CF=3
+4.
∴AF=AE-EF=4
-3.
∴C(4
-3,3
+4).
延长CB交x轴于点E,则∠ABE=90°,∠AEB=60°.可求AE、BE的长度.
作CF⊥AE于F.求AF,CF的长度便知C点坐标.解直角三角形CFE可求CF、EF的长度,从而知AF的长度.问题得解.
坐标与图形变化-旋转
此题重点考查了利用解直角三角形求点的坐标,涉及图形的旋转变换,综合性很强,难度很大.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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