已知圆C:(x-2)平方+(y-3)平方=4,直线L:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8,L被圆C截得弦长最短

题目

已知圆C:(x-2)平方+(y-3)平方=4,直线L:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8,L被圆C截得弦长最短
已知圆C:(x-2)平方+(y-3)平方=4,直线L:(m+2)x+(2m+1)y=7m=4
（1）L被圆C截得弦长最短的长度
（2）此时的直线L的方程

答案

直线l:(m+2)x+(2m+1)y-7m-8=0
(m+2)x+(2m+1)y-3(m+2)-2(2m+1)=0
(m+2)(x-3)/(2m+1)+y-2=0
y-2=-(m+2)(x-3)/(2m+1)
∴当m不等于-1/2时,直线l:y-2=-(m+2)(x-3)/(2m+1) 恒过(3,2)点
当m=-1/2时,直线l方程:x=3
∴直线l恒过(3,2)点
∵圆C：(x-2)平方+(y-3)平方=4
∴圆C是以(2,3)为圆心,半径为2的圆
(3,2)和(2,3)的距离为√2 (√为根号)
直线被圆C截得的弦长最大,应该为过圆心和(3,2)的弦(直径为最长的弦)
直线被圆C截得的弦长最小,应为垂直该直径的弦,所以该弦到圆心的距离应该为(3,2)和(2,3)的距离即为√2 ,根据该圆的半径为2,得所求弦长应为
2√(2×2-√2×√2)=2√2
即L被圆C截得弦长最短的长度为2√2
(2)
设圆心和(3,2)的直径斜率为k
则k=-1
直线被圆C截得的弦长最小的斜率为1
则直线被圆C截得的弦长最小时l的方程y-2=x-3 y=x-1