在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1.0)且点p(0.1)在C1上.
题目
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1:X^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1.0)且点p(0.1)在C1上.
1求椭圆C1的方程
2设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y^2=4x相切,求直线l的方程
答案
(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1,
点P(0,1)代入椭圆X²/a²+y²/b²=1,得b=1,所以a²=b²+c²=2
所以椭圆C1的方程为x²/2+y²=1
(2)直线l的斜率显然存在,
设直线l的方程为y=kx+m,
由
x²/2+y²=1 且y=kx+m
,消去y并整理得(1+2k²)x²+4kmx+2m²-2=0,
因为直线l与椭圆C1相切,
所以△=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-2)=0
整理得2k²-m²+1=0①
由
y²=4x且y=kx+m
,消去y并整理得k²x²+(2km-4)x+m²=0
因为直线l与抛物线C2相切,所以△=(2km-4)2-4k²m²=0
整理得km=1②
综合①②,解得
k=根号2/2 m=根号2
或
k=-根号2/2m=-根号2
所以直线l的方程为y=根号2/2X+根号2或y= - 根号2/2X-根号2
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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