关于“设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明：A及A+2E都可逆,并求A的逆矩阵及（A+2E）的逆矩阵”

题目

关于“设方阵A满足A^2-A-2E=0,证明：A及A+2E都可逆,并求A的逆矩阵及（A+2E）的逆矩阵”
老师有同学这样做,我也看不出大错,
A^2-E=A+E,左边平方差公式,
得：
(A+E)(A-E)=A+E,
两边乘以（A+E）的逆,得A=2E,
所以(A+E)的逆等于E/3
还有一种是：
由已知等式得
A(A-E) = 2E
所以 A[(1/2)(A-E)] = E
所以A可逆,且 A^-1 = (1/2) (A-E).

答案

第一种不对, 因为此时还不知道 A+E 是否可逆. 第二种是对的.知识点: 若A,B是同阶方阵, 且 AB=E, 则A,B都可逆,并且 A^-1=B,B^-1=A.由于 A[(1/2)(A-E)] = E所以A可逆, 且 A^-1 = (1/2) (A-E). 同理, 由A^2-A-2E=0则有 ...