如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=FE．求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）AF⊥DE．

题目

如图，在△ABC中，已知AB=AC，∠BAC=90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=FE．求证：

（1）△ABD≌△ACE；
（2）AF⊥DE．

答案

证明：（1）∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠BCA=45°．
又∵EC⊥BC，
∴∠ACE=90°-45°=45°．
∴∠B=∠ACE．
在△ABD与△ACE中

AB＝AC ∠B＝∠ACE DB＝EC

，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
（2）由（1）知△ABD≌△ACE，
∴AD=AE．
等腰△ADE中，DF=EF，
∴AF⊥DE．

（1）要证△ABD≌△ACE，现具备的条件是两边相等，缺夹角或第三边相等，由已知知道证夹角相等是比较容易的．而第三边AD=AE与已知相差很远，不易求出．
（2）利用（1）的结论△ABD≌△ACE得出AD=AE，在等腰三角形ADE中，又因为已知DF=EF，所以可利用等腰三角形的三线合一的性质得出结论AF⊥DE．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；三角形全等的问题要找准三角形中现有的条件然后找需要的条件，根据所给出的已知条件结合图形得出所需条件．等腰三角形中三线合一是非常重要的．注意应用．