1.若(1/x)+(4/y)+(9/z)=1,x,y,z都是正整数,则x+y+z最小值为多少

题目

1.若(1/x)+(4/y)+(9/z)=1,x,y,z都是正整数,则x+y+z最小值为多少
2.设x,y,z,w是不全为零的实数,且满足xy+2yz+zw
请认真证明，好的话会有追加分

答案

第一问就像lovebeyond0321做的那样,用平均值不等式或者柯西不等式,最小值是36,当x=6,y=12,z=18的时候取得.第二问他做得不对,有一个不等式方向反了.答案应该是(1+√2)/2.
首先验证A=(1+√2)/2时,不等式对任意(x,y,z,w)成立：
2A(x^2+y^2+z^2+w^2)-2(xy+2yz+zw)
=[(1+√2)x^2+(-1+√2)y^2-2xy]+[2y^2+2z^2-4yz]+[(-1+√2)z^2+(1+√2)w^2-2zw]
=(1+√2)[x-(-1+√2)y]^2+2[y-z]^2+(1+√2)[z-(-1+√2)w]^2
>=0
然后,由上述推导可知,当x=w= -1+√2,y=z= 1时,等号成立,即,A不能更小