无穷小等价替换与极限性质的矛盾

题目

无穷小等价替换与极限性质的矛盾
极限性质里有一条lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)
而对于lim(1-sinx)/x（x->0)的时候
sinx不能换成x
原因是因为这是加减运算
但是
lim(1-sinx)/x（x->0)=lim1/x-lim(sinx/x)
不久化为乘除运算
用x代替sinx吗
我主要是想问 在这个式子中 可以用x替换sinx吗
式子是我自己想的

答案

加减时不是不能用无穷小替换,而是用无穷小替换可能正确,也可能不正确.无穷小替换本质是taylor级数的替换,就是加减时用无穷小替换后一阶无穷小可能消掉,这时要用二阶替换,二阶不行,再用三阶……你若学了taylor级数后（或taylor公式）会理解的.对于你的例子是可以替换的,因为一阶无穷小x未与1抵消,它是起作用的.