设抛物线C的方程为x2=4y,M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分
题目
设抛物线C的方程为x2=4y,M(x0,y0)为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分
别为A,B,当m变化时,试探究直线l上是否存在点M,使MA⊥MB?若存在,有几个这样的店,若不存在,说明理由
答案
切线:y-y0=k(x-x0)
C:x²=4y
联立得:x²=4k(x-x0)+4y0
x²-4kx+4x0k-4y0=0
切线条件:Δ=0
Δ=(4k)²-4(4x0k-4y0)=16k²-16x0k+16y0=0
k²-x0k+y0=0
结合MA⊥MB得
k1·k2=y0=-1
此时-1=-m,m=1>0,且
Δ‘=x0²-4y0=x0²+4>0
于是可知当m=1时,l上任意一点都满足题设要求,即存在无数个这样的点.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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