求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域．

题目

求y=1+sinx+cosx+sinxcosx的值域．

答案

设t=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，则t∈[-

2

，

2

]．
由（sinx+cosx）²=t²⇒sinxcosx=

t2-1

2

．
∴y=1+t+

t2-1

2

=

1

2

（t+1）²．
∴y_max=

1

2

（

2

+1）²=

3+2 2

2

，y_min=0．
∴值域为[0，

3+2 2

2

]．

本题的特点是含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子，处理方式是应用
（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx  进行转化，变成二次函数的问题．

本题考点：["函数最值的应用"]

考点点评：本题考查三角函数值域问题，转化的思想常常用到．