设p为椭圆9分之x平方+4分之y的平方等于1上的一点,F1,F2分别为椭圆的焦点,求当角F1PF2为直角时,P点的坐标.

题目

设p为椭圆9分之x平方+4分之y的平方等于1上的一点,F1,F2分别为椭圆的焦点,求当角F1PF2为直角时,P点的坐标.

答案

由原椭圆方程得
F1F2=2c=2√（a²-b²）=2√5
且F1P+F2P=2a=6
当角F1PF2为直角时,OP是RT三角形F1PF2斜边的中线
则OP=F1F2/2=√5
设P点的坐标为(x,y),则
x²+y²=OP²=5
x²=5-y² (1)
(1)代入椭圆方程得
(5-y²)/9+y²/4=1
4(5-y²)+9y²=36
5y²=20
y²=4
y=±2
代入(1)可解得x=±1
所以P点的坐标为(1,2)(-1,2)(1,-2)(-1,-2).