如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D． （1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD； （2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．

题目

如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．

（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；
（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．

答案

（1）证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，
∴∠ABC=60°．
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=30°，
∴∠BAC=∠ABD，
∴BD=AD．
（2）解法一：∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴

1

2

（∠BAC+∠ABC）=45°．
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∠BAP=

1

2

∠BAC，∠ABP=

1

2

∠ABC，即∠BAP+∠ABP=45°
∴∠APB=180°-45°=135°．
解法二：∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴

1

2

（∠BAC+∠ABC）=45°．
∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，
∠DBC=

1

2

∠ABC，∠PAC=

1

2

∠BAC，
∴∠DBC+∠PAD=45°．
∴∠BPA=∠PDA+∠PAD
=∠DBC+∠C+∠PAD
=∠DBC+∠PAD+∠C
=45°+90°
=135°．