求证tanα+2tan2α+4tan4α+……+2^ntan2^nα=cotα-2^(n+1)cot2^(n+1)α
题目
求证tanα+2tan2α+4tan4α+……+2^ntan2^nα=cotα-2^(n+1)cot2^(n+1)α
请尽量具体,3Q!
答案
cot2^nα-tan2^nα=cos2^nα/sin2^nα-sin2^nα/cos2^nα
= [(cos2^nα)²-( sin2^nα) ²]/[sin2^nαcos2^nα]
= cos2^(n+1)α/[1/2 sin2^(n+1)α]
=2 cos2^(n+1)α/sin2^(n+1)α
=2 cot2^(n+1)α.
即cot2^nα-tan2^nα=2 cot2^(n+1)α.
tan2^nα= cot2^nα-2 cot2^(n+1)α.
2^ntan(2^nα)= = 2^n cot2^nα- 2^(n+1)cot2^(n+1)α.
令n=0,1,2,3……得:
tanα= cotα-2 cot2α,
2tan2α=2 cot2α-2^2 cot2^2α,
2^2tan(2^2α)= 2^2 cot2^2α-2^3 cot2^3α,
……………………
2^ntan(2^nα)= = 2^n cot2^nα- 2^(n+1)cot2^(n+1)α,
以上各式相加得:
tanα+2tan2α+2^2tan(2^2α)+……+2^ntan(2^nα)=cotα-2^(n+1)cot2^(n+1)α.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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