过椭圆x^9+y^4=1内一定点(1,0)作弦,求弦中点的轨迹方程

题目

过椭圆x^9+y^4=1内一定点(1,0)作弦,求弦中点的轨迹方程

答案

设过定点的弦的方程是k(x-1)=y,中点设为（x0,y0）,中点在弦上,故得k(x0-1)=y0……一式
将弦的方程代入椭圆方程,得：(9k^2+4)x^2-18k^2x+9k^2-36=0,设弦的两端点是（x1,y1）（x2,y2）,又伟大定理得x1+x2=18k^2/(9k^2+4),所以x0=（x1+x2）/2=9k^2/(9k^2+4),y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=k(x1+x2)-2k=-8k/(9k^2+4),所以y0=(y1+y2)/2=-4k/(9k^2+4),所以x0/y0=-9/4k,故k=-4x0/9y0,代入一式即可得其方程.