如图,已知在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,BE是AC边上的高,BF平行于AE且BF=AE,联结DF,DE

题目

如图,已知在△ABC中,AB=AC,点D是BC边上的中点,BE是AC边上的高,BF平行于AE且BF=AE,联结DF,DE
求证：（1）∠AED=∠FBD
（2）ED⊥DF

答案

（1）证明：因为BE是AC边上的高
所以角BEC=角AEC=90度
所以三角形BEC是直角三角形
因为D是BC边上的中点
所以AD ,DE分别是三角形ABC和直角三角形BEC的中线
所以DE=BD
所以角DBE=角DEB
因为BF平行AE,且BF=AE
所以四边形AFBE是平行四边形
所以四边形AFBE是矩形
所以角EBF=90度
因为角AED=角AEB+角DEB=90+角DEB
角FBD=角EBF+角DBE=90+角DBE
所以角AED=角FBD
(2)证明：因为BF=AE
BD=DE（已证）
角FBD=角AED（已证）
所以三角形FBD和三角形AED全等（SAS)
所以角BDE=角ADE
因为AB=AC
所以三角形ABC是等腰三角形
因为AD是三角形ABC的中线
所以AD是等腰三角形ABC的垂线
所以角ADB=角ADF+角BDF=90度
因为角EDF=角ADF+角ADE
所以角EDF=90度
所以ED垂直DF