如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G. 求证:(1)DF∥BC;(2)FG=FE.

如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G. 求证:(1)DF∥BC;(2)FG=FE.

题目
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于点E,AD=AC,AF平分∠CAB交CE于点F,DF的延长线交AC于点G.
求证:(1)DF∥BC;(2)FG=FE.
答案
(1)证明:∵AF平分∠CAB,
∴∠CAF=∠DAF.
在△ACF和△ADF中,
AC=AD
∠CAF=∠DAF
AF=AF

∴△ACF≌△ADF(SAS).
∴∠ACF=∠ADF.
∵∠ACB=90°,CE⊥AB,
∴∠ACE+∠CAE=90°,∠CAE+∠B=90°,
∴∠ACF=∠B,
∴∠ADF=∠B.
∴DF∥BC.
②证明:∵DF∥BC,BC⊥AC,
∴FG⊥AC.
∵FE⊥AB,
又AF平分∠CAB,
∴FG=FE.
(1)根据已知,利用SAS判定△ACF≌△ADF,从而得到对应角相等,再根据同位角相等两直线平行,得到DF∥BC;
(2)已知DF∥BC,AC⊥BC,则GF⊥AC,再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF.

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