设y=1-2a+a²-2acosx-2sin²x(-2≤a≤2,x∈R),求证：y≥-3

题目

设y=1-2a+a²-2acosx-2sin²x(-2≤a≤2,x∈R),求证：y≥-3

答案

y=1-2a+a²-2acosx-2sin²x
=1-2a+a²-2acosx-2(1-cos²x)
=1-2a+a²-2acosx-2+2cos²x
=2cos²x-2acosx+a²-2a-1
=2(cos²x-acosx+a²/4)+a²/2-2a-1
=2(cosx-a/2)²+a²/2-2a-1
∵-2≤a≤2
∴-1≤a/2≤1
∴cosx=a/2时,y有最小值
最小值=a²/2-2a-1
对称轴a=2
∵-2≤a≤2
∴a=2时,有最小值
最小值=4/2-4-1=-3
∴y≥-3