设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an=2-Sn（n∈N*）． （Ⅰ）求a1，a2，a3，a4的值并猜想这个数列的通项公式 （Ⅱ）证明数列{an}是等比数列．

题目

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并猜想这个数列的通项公式
（Ⅱ）证明数列{a_n}是等比数列．

答案

（1）a1＝1，a2＝

1

2

，a3＝

1

4

，a4＝

1

8

（4分）
猜想an＝(

1

2

)n−1（6分）
（2）证明：

∵an＝2−Sn

，
∴an−1＝2−Sn−1(n≥2)∴an−an−1＝2−Sn−(2−Sn−1)，即

an

an−1

＝

1

2

(n≥2)
又∵a₁=2-S₁=2-a₁，
∴a1＝1∴{an}是以1为首项，公比为

1

2

的等比数列（12分）