设随机变量X ,Y分别服从（0-1）分布,证明：X,Y相互独立等价于X,Y不相关

题目

设随机变量X ,Y分别服从（0-1）分布,证明：X,Y相互独立等价于X,Y不相关

答案

设 X,Y的分布律分别为
X 0 1 Y 0 1
1-p p 1-q q
（1）X,Y独立,那么他们一定不相关（这是书上的结论,只要独立就一定不相关）
（2）X,Y不相关,则COV(X,Y)=0,即E(XY)=E(X)E(Y)
又因为E(X)=p,E(Y)=q
所以E(XY)=pq
由于X,Y都是0-1分布,所以
XY的分布律 0 1
1-pq pq
只能得出P(X=1,Y=1)=pq=P(X=1)P(Y=1)
不能得出其余三个等式成立,比如不能得出P(X=1,Y=0)=P(X=1)P(Y=0)
注：只有二维正态分布的两个随机变量独立和不相关是等价的.满意望采纳